간단한 용어로 설명하는 비트코인의 수학

1TP1일 전 0 432

2024년에도 비트코인은 여전히 암호화폐 시장을 주도하며 다른 코인의 방향과 성장률을 결정했습니다. 1월부터 12월까지 주요 디지털 자산의 가치는 60% 이상 증가했습니다($29.08천에서 $47.87천으로). 최고점에서 환율은 $69천에 도달했습니다. 한 해 동안 BTC 대문자 1.7배(1조 4,538억 8,000만 달러에서 1조 4,246억 1,000만 달러로) 증가했습니다. 이러한 인기의 이유는 보안, 익명성, 국경의 부재 등 여러 가지 요인이 복합적으로 작용한 결과입니다. 하지만 가장 중요한 것은 암호화폐의 기반이 되는 비트코인의 수학입니다. 타원 곡선과 유한 필드의 시너지 덕분에 시스템은 잘 작동합니다.

비트코인 수학의 기초

암호화폐는 소유권에 대한 일반적인 정의를 완전히 바꿔놓았습니다. 전통적인 세계에서 무언가를 소유한다는 것은 그 물리적 표현을 처분하는 것을 의미합니다. 블록체인은 다르게 작동합니다. 디지털 코인은 물리적 실체가 없는 분산 원장의 기록입니다. 비트코인을 소유한다는 것은 블록체인에 트랜잭션을 기록하여 마음대로 처분할 수 있다는 것을 의미합니다.

소유권 기록은 기존의 대여금고나 안전 금고보다 훨씬 더 안전하게 소유물을 보관할 수 있는 방법이 됩니다.

이 기능은 타원 곡선 디지털 서명 알고리즘 메커니즘에 의해 제공됩니다. 타원 곡선과 유한 필드를 기반으로 하는 암호화 서명 시스템입니다. 위조가 불가능하며 네트워크의 모든 사람이 그 유효성을 쉽게 확인할 수 있습니다.

ECDSA에는 서명 생성 및 확인을 위한 두 가지 별도 절차가 포함되어 있습니다. 각 절차는 몇 가지 수학적 연산을 결합하는 메커니즘입니다. 첫 번째는 개인 키를 사용하여 트랜잭션을 활성화합니다. 두 번째는 공개 문자 집합을 통해 확인합니다.

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타원 곡선

ECDSA의 개념은 1992년 암호학자 스콧 반스톤에 의해 소개되었습니다. 타원 곡선은 그래프의 표시로 표시되며, 그 순서는 다음과 같은 공식으로 설명할 수 있습니다: y2 = x3 + ax + b. BTC 프로토콜에서 a는 0으로 간주되고 b는 7과 같습니다. 그래픽적으로 이 요소는 다음과 같습니다:

이 요소에는 몇 가지 유용한 기능이 있습니다:

2점에서 커브를 통과하는 수직선이 아닌 선은 반드시 3점에서도 커브와 교차합니다.
이러한 선이 한 곳에서 타원 요소에 닿으면 다른 곳에서 타원 요소를 통과합니다.

이러한 특성은 포인트의 덧셈과 뺄셈에 사용됩니다. 첫 번째 경우, 그래프에서 (그래프의) 합집합 P와 Q를 통해 직선을 그려야 합니다. 이 직선은 점 R′에서 곡선과 교차합니다. 그런 다음 타원선에서 R′의 값과 반대되는 표시를 찾아야 합니다. 이를 R이라고 하고 P와 Q의 합으로 간주할 수 있습니다.

값을 두 배로 늘리려면 P + P = R 공식이 사용됩니다. 요소의 특성을 고려할 때 세그먼트는 R의 반대쪽 지점인 R′에서 곡선에 닿는 선이 그래프에 그려집니다. 이 경우 R을 더하기 표시로 사용합니다.

이 두 가지 계산은 스칼라 곱 R = aP(자체에 마크 P를 여러 번 더함)를 결정하는 데 필요합니다.

BTC의 경우, R = 7P 또는 R = P + (P + (P + (P + (P + (P + (P + (P + P))))).

단순화하면 얻을 수 있습니다:

R = P + 6P
R = P + 2 (3P)
R = P + 2 (P + 2P).

따라서 작업은 표시를 두 배로 늘리는 2 단계와 더하기 2 단계로 나뉩니다. 복소수 작업의 경우 더 빠른 방법이 사용됩니다.

유한 필드

암호화에서는 동일한 곡선이 사용되지만 특정 수치 제한을 고려합니다. 이것은 이론적으로 모든 계산의 결과가 속하는 유한한 영역입니다.

때때로 얻은 값이 특정 한계를 초과하는 경우가 있습니다. 이 경우 작업을 종료한 다음 범위의 시작 부분으로 돌아가 계산을 계속해야 합니다. 이렇게 하면 결과는 항상 최종 필드 안에 있게 됩니다.

예를 들어 정수로 나눗셈의 나머지를 확인할 수 있습니다(모듈러스 연산 - MOD): 9/7 = 1, 나머지는 2. 이 연산은 9 MOD 7 = 2의 값을 갖습니다. 유한 필드의 경계는 0과 6입니다. 즉, 원래 숫자에 관계없이 모든 모듈러스 7 계산의 결과가 지정된 범위 내에 속하게 됩니다.

y2 + x3 +7 공식을 사용하는 비트코인의 타원 곡선은 유한 필드 모듈로 67에 정의됩니다. 그래프에서 이는 마크의 클러스터로 표현됩니다. 그 안의 모든 x와 y 값은 0-66 범위의 정수입니다. 직선은 숫자 67에 도달하면 선택한 공간을 감싸고 반대편으로 계속 이어집니다. 마크 2, 22와 6, 25를 더하면 이를 통과하는 선이 세 번째, 47, 39와 교차합니다. 계산 결과는 반대쪽 마크 47, 28이 됩니다.

암호화에 사용

비트코인 프로토콜은 타원 곡선과 주어진 공간에 대한 값을 고정합니다. 따라서 네트워크의 각 구성원은 특정 공식만 적용할 수 있습니다. 고정된 특성은 다음과 같습니다:

타원 요소 공식 (방정식).
기본포인트.
프라임모듈러스.
주문기준점의 (주문).

비트코인 수학은 이러한 값에 복소수를 사용합니다. 단순한 무차별 대입 방식으로는 거래나 지갑의 개인 키를 찾는 것이 거의 불가능하기 때문에 암호 화폐 네트워크의 보안을 보장합니다. BTC의 값 계산은 표에 나와 있습니다.

표시기	결과
타원 요소 공식	Y2 = X3 + 7
유한 필드 모듈러스	2²⁵⁶ - 2³² - 2⁹ - 2⁸ - 2⁷ - 2⁶ - 2⁴ - 1 = FFFFFFFFFF FFFFFFFFFF FFFFFFFFFF FFFFFFFFFF FFFFFFFFFF FFFFFFFFFF FFFFFFFFFF 정답 FFFFFFFFFF FFFFFFFFFF FFFFFFFFFF FFFFFFFFFF FFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFF
기준점	04 79BE776E F9DCBBDC 54A06275 CE870B27 023BFCDB 2DCE58D9 59F2817B 26F81778 443ADA77 26A3C875 5DA5TBFC 0E2208A8 FH15B448 A6854419 8C48D08C FB10D5B8
주문	FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF BAEDCE4 AF47A04B BFD25E8C D0366141

이 값의 시퀀스를 secp256k1이라고 합니다. 비트코인 프로토콜에서는 ECDSA 체계와 함께 사용됩니다. 시스템은 개인 키를 1에서 소수 사이의 숫자로 설정합니다. 공개 키는 비밀 키에서 베이스 마크 인덱스를 제곱 곱하는 방법으로 얻습니다.

너무 복잡한 경우

비트코인 블록체인은 수학적 원리를 기반으로 구축되었습니다. 네트워크는 디지털 서명 체계인 ECDSA를 사용해 트랜잭션을 전송합니다. 이 메커니즘은 특정 수치 한도 내에서 계산된 타원 곡선을 기반으로 작동합니다. 이러한 기능의 도움으로 개인 주소와 공개 주소를 생성하는 복잡한 시스템이 만들어집니다.

한편으로는 디지털 서명을 생성하는 수학적 순서에 따라 비트코인 지갑의 최대 개수가 정의되어 있습니다. 그러나 다른 한편으로는 계산의 복잡성이 기하급수적으로 증가합니다. 문제를 해결하려면 약 2¹²⁸번의 시도가 필요합니다. 이는 우주의 존재와 맞먹는 시간이 소요될 것입니다.